קיץ 2022 מועד ב – שאלה 1 סעיף אאינדוקציה 571 · בגרות 571

אינדוקציה · שאלון 571

קיץ 2022 מועד ב – שאלה 1 סעיף א

פרק 6 – שאלות בגרות 571 – אינדוקציה

1נוסח השאלה

2סעיף א – הוכחה באינדוקציה

📄 נוסח השאלה

הוכיחו באינדוקציה או בכל דרך אחרת כי בעבור כל n טבעי מתקיים:

1² + 2² + 3² + … + n²

= n · (n + 1) · (2n + 1)6

סעיף א – הוכחה באינדוקציה

1² + 2² + 3² + … + n²
= n · (n + 1) · (2n + 1)6

שלב 1 – בסיס האינדוקציה: בדיקה בעבור n = 1

📐 אינדוקציה מתמטית

אגף שמאל: 1² = 1. אגף ימין:

1 · 2 · 36 = 1 ✓

שלב 2 – הנחת האינדוקציה:

נניח שהטענה נכונה בעבור n = k, כאשר k טבעי כלשהו:

1² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

📐 אינדוקציה מתמטית

1. בסיס: בדיקה בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k
3. צעד: נוכיח בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

1² + 2² + 3² + … + n²
= n · (n + 1) · (2n + 1)6

שלב 3 – צעד האינדוקציה: נוכיח בעבור n = k + 1

צריך להוכיח:

1² + … + k² + (k + 1)²

= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6

נפריד את האיבר האחרון ונציב את ההנחה:

📐 הנחת האינדוקציה

= k(k + 1)(2k + 1)6 + (k + 1)²

נוציא גורם משותף k + 16:

📐 הוצאת גורם משותף

= k + 16 · [k(2k + 1) + 6(k + 1)]

📐 הנחת האינדוקציה

1² + … + k² = k(k + 1)(2k + 1)6

📐 הוצאת גורם משותף

ab + ac = a(b + c)

סעיף א – הוכחה באינדוקציה · המשך

1² + 2² + 3² + … + n²
= n · (n + 1) · (2n + 1)6

= k + 16 · [k(2k + 1) + 6(k + 1)]

= k + 16 · (2k² + 7k + 6)

נפרק, ונבדוק בפתיחת סוגריים:

📐 פתיחת סוגריים

= (k + 1)(k + 2)(2k + 3)6 ✓

שלב 4 – מסקנה:

הטענה נכונה בעבור n = 1, והוכחנו שאם היא נכונה בעבור n = k אז היא נכונה גם בעבור n = k + 1. לפי עקרון האינדוקציה, הטענה נכונה לכל n טבעי.

✅ פתרון סופי: הוכח ✓

📐 פתיחת סוגריים

(k + 2)(2k + 3)
= 2k² + 3k + 4k + 6
= 2k² + 7k + 6

📌 ארבעת השלבים של הוכחה באינדוקציה

📐 בסיס והנחה

1. בסיס: בודקים בעבור n = 1
2. הנחה: נכון בעבור n = k

📐 צעד ומסקנה

3. צעד: מוכיחים בעבור n = k + 1
4. מסקנה: נכון לכל n טבעי

💡 בצעד תמיד מפרידים את האיבר האחרון ומציבים את הנחת האינדוקציה.

→ / רווח / לחיצה = הבא · ← = אחורה · F = מסך מלא